Content

• Passos
• Consells

Els matemàtics i programadors gràfics sovint necessiten trobar l’angle entre dos vectors. Afortunadament, la fórmula utilitzada per calcular aquest angle no requereix res més que un simple producte escalar. Tot i que el raonament d'aquesta fórmula és més fàcil d'entendre quan s'utilitzen vectors bidimensionals, podem adaptar-lo fàcilment a vectors amb qualsevol nombre de components.

Passos

Part 1 de 2: Calculeu l’angle entre dos vectors

1. 

   Identifica els dos vectors. Anoteu tota la informació coneguda sobre els dos vectors. Amb la finalitat d’aquest tutorial, suposarem que només coneixeu els vectors quant a les seves coordenades dimensionals (també anomenades components). Si ja coneixeu el mòdul o estàndard d’aquests vectors (és a dir, la seva longitud), podeu saltar-vos alguns dels passos següents.
   • Exemple: considerarem els vectors bidimensionals = (2,2) i = (0,3). Aquests dos vectors es poden reescriure com = 2jo + 2j e = 0jo + 3j = 3j.
   • Tot i que el nostre exemple utilitza dos vectors bidimensionals, podem aplicar les instruccions següents a vectors amb qualsevol nombre de components.

2. 

   
   
   Escriu la fórmula del cosinus. Per trobar el valor de l’angle θ entre dos vectors, primer hem de calcular el cosinus d’aquest angle. Podeu cercar i esbrinar la fórmula en detall o simplement escriure-la tal com es troba a continuació:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| representa el mòdul (o longitud) del vector ".
   • • representa el producte escalar (o producte intern) dels dos vectors.

3. 

   
   
   Calcula el mòdul de cada vector. Imagineu-vos un triangle dret format pel component x d’un vector, el seu component i i el propi vector. En aquest triangle, el vector té el paper de la hipotenusa; per tant, per trobar-ne la longitud, aplicarem el teorema de Pitàgores. Com a resultat, aquesta fórmula és fàcilment aplicable a vectors amb qualsevol nombre de components.
   • || u || = u₁ + u₂. Si el vector té més de dos components, només cal continuar afegint + u₃ + u₄ +...
   • Per tant, per a un vector bidimensional, haurem de fer-ho || u || = √ (u₁ + u₂).
   • En el nostre exemple, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Calcula el producte escalar entre els dos vectors. Ja hauríeu de conèixer el mètode per multiplicar vectors, també anomenat producte escalar. Per calcular el producte escalar de dos vectors en termes dels seus components, multipliquem els components en la mateixa direcció entre ells i després afegim els resultats d’aquests productes.
   • Si treballes amb programes gràfics per ordinador, visiteu primer la secció "Consells" abans de continuar.
   • En termes matemàtics, • = u₁v₁ + u₂v₂, on u = (u₁, u₂). Si el vector té més de dos components, només cal que seguiu afegint + u₃v₃ + u₄v₄...
   • En el nostre exemple, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Aquest és el valor del producte escalar entre els vectors i.

5. 

   Substitueix aquests resultats en la fórmula del cosinus. Recordeu, cosθ = (•) / (|||| ||). Ja hem calculat el producte escalar i el mòdul dels dos vectors. Ara, substituïm aquests valors en la fórmula i calculem el cosinus de l’angle.
   • En el nostre exemple, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Trobeu l’angle basat en el vostre cosinus.
   Utilitzeu la funció cos o de la calculadora per determinar l'angle θ del valor del cosinus. En alguns casos, és possible que pugueu trobar el valor de l’angle en funció del cercle d’unitat.
   • En el nostre exemple, cosθ = √2 / 2. Escriviu "arccos (√2 ​​/ 2)" a la calculadora per trobar l'angle. Una altra opció és buscar l’angle θ del cercle d’unitat on cosθ = √2 / 2: això serà cert per a θ = /₄ o 45 °.
   • Unint tota la informació, tindrem la fórmula final θ = arccosina ((•) / (|||| ||))

Part 2 de 2: Definició de la fórmula per calcular l'angle

1. 

   Comprendre el propòsit de la fórmula. La fórmula que hem utilitzat per calcular l’angle entre dos vectors no ha derivat de regles preexistents; en canvi, es va crear com a definició del producte escalar entre dos vectors i l'angle entre ells. Tanmateix, aquesta decisió no és arbitrària. Amb una ullada més a fons a la geometria bàsica, podem veure per què aquesta fórmula dóna lloc a definicions tan útils i intuïtives.
   • Els exemples següents utilitzen vectors bidimensionals perquè són el tipus més intuïtiu per treballar. Els vectors de tres o més dimensions tenen les seves propietats definides a partir de la fórmula general (també de manera molt similar).

2. 

   Revisa la llei del cosinus. En qualsevol triangle, considereu l’angle θ format pels costats El i B i el costat ç enfront d’aquest angle. Segons la llei del cosinus, c = a + b -2abcintura(θ). La demostració d’aquesta fórmula es pot obtenir fàcilment a partir del coneixement de la geometria bàsica.

3. 

   Connecta els dos vectors per formar un triangle. Dibuixa un parell de vectors i, amb un angle θ entre ells. A continuació, dibuixa un tercer vector entre ells per formar un triangle. En altres paraules, dibuixa el vector de manera que + =, o simplement = -.

4. 

   Aplica la llei del cosinus a aquest triangle. Substituïu la longitud dels costats del nostre vector triangle (és a dir, el mòdul vectorial) en la fórmula de la llei del cosinus:
   • || (a - b) || = || a || + || b || || - 2 || a || || b || ||cintura(θ)

5. 

   Reescriviu la fórmula mitjançant productes escalars. Recordeu que el producte punt és l’ampliació d’un vector projectat sobre un altre. El producte escalar d’un vector en si mateix no necessita projecció perquè no hi ha cap canvi de direcció. Això vol dir que • = || a || A partir d'aquesta informació, reescrivim l'equació de la llei cosinus:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b || ||cintura(θ)

6. 

   Simplifiqueu la fórmula. Expandiu els productes a la part esquerra de l'equació i simplifiqueu-lo fins que arribeu a la fórmula que coneixem per calcular els angles.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b || ||cintura(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b || ||cintura(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b || ||cintura(θ)
   • • = || a || || b || ||cintura(θ)

Consells

• Per obtenir una resolució ràpida, apliqueu la fórmula següent a qualsevol parella vectorial bidimensional: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Si treballes amb programes gràfics per ordinador, molt probablement haureu de conèixer només la direcció dels vectors, no la seva longitud. Seguiu els passos següents per simplificar les equacions i agilitar el programa:
  • Normalitzar cada vector, és a dir, trobar el vector d’unitat que tingui la mateixa direcció que el vector original. Per fer-ho, divideix cada component del vector pel mòdul vectorial.
  • Calculeu el producte escalar dels vectors normalitzats, no els vectors originals.
  • Com que el mòdul (és a dir, la longitud) dels vectors normalitzats és unitari, els podem deixar fora de la fórmula. L’equació final del càlcul d’angles serà arcs (•).
• A partir de la fórmula de la llei del cosinus, podem esbrinar ràpidament si l’angle en qüestió és agut o obtus. Comença per cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Els costats esquerre i dret de l’equació han de tenir el mateix signe (positiu o negatiu).
  • Com que les longituds són sempre positives, cosθ sempre tindrà el mateix signe que el producte escalar.
  • Per tant, si el producte escalar és positiu, cosθ serà positiu. Això vol dir que l’angle es troba al primer quadrant del cercle unitari, és a dir, θ <π / 2 o 90 °. Per tant, l’angle és agut.
  • Si el producte escalar és negatiu, cosθ és negatiu. Això vol dir que l’angle es troba al segon quadrant del cercle unitari, és a dir, π / 2 <θ ≤ π o 90 ° <θ ≤ 180 °. Per tant, l’angle és obtús.