Content

• Passos
• Consells

Per a aquells que tenen dificultats amb les matemàtiques, veure el símbol d’una arrel quadrada pot provocar calfreds. Tanmateix, els problemes amb aquest operador no són tan difícils com semblen. De vegades, els problemes simples d’arrels quadrades poden ser tan fàcils com una simple multiplicació o divisió. D'altra banda, els problemes més complicats poden ser més treballables. Tot i així, amb l’enfocament adequat, tots semblaran fàcils. Comença a practicar problemes d’arrel quadrada ara i aprèn aquesta nova habilitat matemàtica radical!

Passos

Part 1 de 3: Comprendre el concepte d'arrels quadrades i quadrades

1. 

   Abans d’entendre les arrels quadrades, primer enteneu què és el quadrat d’un nombre. És fàcil d'entendre. Per quadrar un nombre, només cal multiplicar-lo. Per exemple, 3 quadrats és el mateix que 3 × 3 = 9, i el 9 quadrat és el mateix que 9 × 9 = 81. Els quadrats es denoten per un petit "2" situat a la part superior dreta del número que cal elevar, així: 3, 9, 100 i així successivament.
   • Per practicar el concepte, intenteu quadrar alguns números més. Recordeu, quadrar un nombre és simplement multiplicar-lo per si sol. Podeu fer-ho fins i tot amb números negatius, però recordeu que en aquest cas la resposta sempre serà positiva. Per exemple, -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Per trobar l'arrel quadrada, busqueu la "inversa" de la potenciació. El símbol arrel (√, també anomenat "radical") significa bàsicament el "contrari" del símbol. Quan veieu un radical, pregunteu-vos: "Quin número puc multiplicar per si mateix perquè el resultat sigui el nombre dins del radical?" Per exemple, quan veieu √ (9), intenteu trobar el nombre que, quadrat, és igual a les nove. En aquest cas, la resposta serà tresperquè 3 = 9.
   • Un altre exemple: trobem l’arrel quadrada de 25 (√ (25)). Això vol dir que hem de trobar el nombre que, al quadrat, sigui igual a 25. Com que 5 = 5 × 5 = 25, podem dir que √ (25) = 5.
   • També podeu pensar en aquesta operació com una manera de "desfer" una elevació quadrada. Per exemple, si hem de trobar √ (64), l’arrel quadrada de 64, hauríem de pensar en 64 com 8. Com que l’arrel quadrada bàsicament “cancela” una elevació al quadrat, podem dir que √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Comprendre la diferència entre números quadrats perfectes i números quadrats imperfectes. Fins al moment, les respostes als nostres problemes d’arrel quadrada han estat nombres sencers. No sempre passarà. De fet, el resultat d’una operació de radiació pot resultar de vegades en decimals llargs i complicats. Si l’arrel d’un nombre és un nombre enter, és a dir, si no és una fracció o un decimal, s’anomenarà plaça perfecta. Tots els exemples mostrats anteriorment (9, 25 i 64) són quadrats perfectes perquè les seves arrels són nombres enters (3, 5 i 8, respectivament).
   • D’altra banda, s’anomenen números a les arrels no completes quadrats imperfectes. En calcular l’arrel d’un d’aquests nombres, obtindrem un resultat que normalment serà una fracció o un decimal. De vegades, els decimals implicats poden ser força complicats, com en l'exemple: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Memoritzeu com a mínim els primers 12 quadrats perfectes. Com hem mostrat, calcular l’arrel quadrada d’un nombre pot ser molt fàcil! Per tant, és important aprofitar el temps per memoritzar les arrels quadrades de les primeres dotzenes de quadrats perfectes. Solen aparèixer molt a les proves, de manera que memoritzar-les us pot estalviar molt de temps. Els primers 12 quadrats perfectes són:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Quan sigui possible, simplifiqueu les arrels traient els quadrats perfectes. Trobar l’arrel quadrada dels quadrats imperfectes pot ser bastant complicat, sobretot si no hi ha una calculadora disponible (a les seccions a continuació, aprendràs trucs per simplificar el procés). Tot i això, de vegades és possible simplificar els números de l’arrel per facilitar els càlculs. Només cal dividir el nombre de l’arrel en factors, després calcular l’arrel dels factors que són quadrats perfectes i escriure la resposta fora del radical. Això és més fàcil del que sembla. Vegeu a continuació per entendre millor.
   • Diguem que cal trobar l’arrel del 900. Al principi, sembla que és una tasca força difícil! Tot és molt més fàcil si dividim el 900 en factors. Els factors d'un nombre "x" són un conjunt de nombres que, si es multipliquen, donen com a resultat "x". Per exemple, podem obtenir 6 multiplicant 1 × 6 i 2 × 3, de manera que els factors de 6 són 1, 2, 3 i 6.
   • En lloc de treballar amb 900, que pot ser una mica estrany, escrivim-lo com a 9 × 100. Ara, com el 9, que és un quadrat perfecte, està separat de 100, podem calcular la seva arrel quadrada. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). És a dir, √ (900) = 3√(100).
   • Encara podem simplificar dues vegades més, dividint 100 en factors 25 i 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Així, podem dir que √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Utilitzeu nombres imaginaris per calcular l’arrel de nombres negatius. Pregunta’t: quin nombre multiplicat per si mateix es tradueix en -16? No és 4 o -4, perquè el quadrat d’aquests dos nombres és 16. Hem de renunciar? De fet, no hi ha manera d’escriure l’arrel quadrada de -16 o qualsevol altre nombre negatiu utilitzant només nombres reals. En aquests casos, hem d’utilitzar números imaginaris (normalment en forma de lletres o símbols) per substituir l’arrel quadrada d’un nombre negatiu. La variable "i", per exemple, s'utilitza per a denominar l'arrel quadrada de -1. Per regla general, l’arrel d’un nombre negatiu sempre serà (o almenys inclourà) un nombre imaginari.
   • Recordeu-ho, tot i que els números imaginaris no es poden representar amb nombres reals, encara poden ser tractats com a tals d’algunes maneres. Per exemple, l’arrel d’un nombre negatiu “-x”, si és quadrat, també dóna lloc a “-x”, igual que qualsevol altra arrel. És a dir, i = -1

Part 2 de 3: Utilització de mètodes semblants a divisions llargues

1. 

   Tracteu el problema d’arrel quadrada com si es tractés d’una divisió llarga. Tot i ser una mica laboriós, podeu trobar l’arrel quadrada de complicats números quadrats imperfectes sense fer servir una calculadora. El mètode (o algorisme) és similar (però no el mateix) al de la divisió llarga. La divisió llarga és aquell mètode tradicional utilitzat per calcular les divisions a mà.
   • Comença amb el posicionament inicial del problema, que serà similar al de la divisió llarga. Per exemple, diguem que cal trobar l’arrel de 6.45, que definitivament no és un quadrat perfecte. Primer escrivim un símbol d’arrel quadrada (√) i després posem el nostre número al seu interior. Aleshores, hem de fer una línia des del símbol √ fins que cobreixi el nombre sencer, deixant-lo dins d’una caixa similar a la que es troba el divisor de divisió llarga. La diferència és que aquí, la resposta estarà per sobre d’aquest quadre, no per sota, com en la divisió tradicional. Quan acabem, tindrem un signe allargat "√" que abasta tot el nombre de 6.45.
   • Escrivim números en aquest quadre, així que deixeu espai.

2. 

   Agrupa els dígits en parelles. Per començar a resoldre el problema, agrupa els dígits del número dins de la tija per parelles, començant pel punt decimal. Podeu fer petites marques (com ara períodes, barres, comes, etc.) entre parelles per separar-les.
   • En el nostre exemple, hauríem de dividir 6,45 en tres parells, així: 6-,45-00. Mireu que hi ha un dígit menys al costat esquerre. No hi ha cap problema.

3. 

   Cerqueu el nombre més gran el quadrat del qual sigui inferior o igual al valor del primer "grup". Comença amb el primer parell de números al costat esquerre. Trieu el nombre més gran que el quadrat sigui inferior o igual al "grup". Per exemple, si el grup era 37, trieu 6, perquè 6 = 36 <37 però 7 = 49> 37. Escriviu aquest número per sobre del primer grup. Aquest és el primer dígit de la resposta.
   • En el nostre exemple, el primer grup de 6-, 45-00 és 6. El primer nombre més gran el quadrat menor o igual a 6 és 2, perquè 2 = 4. Escriviu "2" sobre les 6 que hi ha dins del radical.

4. 

   Mireu el primer dígit de la resposta (el nombre que acabem de trobar) i multipliqueu-lo per dos. Ara, escriviu el resultat a sota del primer grup i feu una resta per trobar la diferència. A continuació, desplaceu-vos cap avall pel següent parell de números i afegiu-los a la diferència que acabem de trobar. Finalment, escriviu l’últim dígit que dobli el primer dígit de la resposta al costat esquerre i deixeu un espai al seu costat.
   • En el nostre exemple, el primer pas seria trobar el doble de 2, que és el primer dígit de la resposta. 2 × 2 = 4. Llavors, hem de restar 4 de 6 (el nostre primer "grup"), obtenint-ne 2 com a resposta. Ara, hem de baixar al grup següent (45) per obtenir 245. Finalment, tornem a escriure 4 a l'esquerra, deixant un petit espai en blanc a la part dreta, així: 4_.

5. 

   Ompliu el blanc. Ara, hem de posar un dígit al lloc de l’espai en blanc al costat del número que escrivim a l’esquerra. Trieu el dígit que, quan es multiplica pel número de l’esquerra amb l’espai en blanc substituït per ell mateix, tingui un valor màxim, però inferior al nombre del costat dret. Això pot semblar una mica complicat, així que vegem alguns exemples per comprendre. Si el número que va baixar, és a dir, el del costat dret és 1700 i el de la dreta és 40_, ompliríem el buit amb el número 4, perquè 404 × 4 = 1616 <1700 i 405 × 5 = 2025 El número que es troba en aquest pas serà el segon dígit de la resposta, de manera que podeu afegir-lo a sobre del símbol de tija.
   • En el nostre exemple, hem de trobar el número per omplir l’espai en blanc en 4_ × _ que faci la resposta el més gran possible, però inferior o igual a 245. En el nostre cas, la resposta és 5perquè 45 × 5 = 225 i 46 × 6 = 276.

6. 

   Continua utilitzant els números que omplen els espais en blanc per escriure la resposta. Continua aquest mètode modificat de divisió llarga fins que comences a obtenir zeros restant el nombre que descendeix del radical o fins arribar al nivell de precisió desitjat. En acabar, els números que s’utilitzen per omplir els blancs a cada pas (i, per descomptat, el primer número que utilitzem) conformaran els dígits de resposta.
   • Continuant amb el nostre exemple, restaríem 225 de 245 per obtenir 20. Aleshores, baixaríem el parell de dígits 00 per obtenir el 2000. Doblant els nombres per sobre del radical, tenim 25 × 2 = 50. Fixant el nombre del blanc en 50_ × _ = / <2.000, obtenim 3. Arribats a aquest punt, tenim "253" sobre el radical. Repetint el procés de nou, obtenim un 9 com a següent dígit.

7. 

   Situeu la coma en la posició correcta a la resposta. Per acabar la resposta, encara hem de posar el punt decimal al lloc correcte. Aquesta part és fàcil. Només heu de posar la coma en la resposta a la mateixa posició que la coma del número dins del radical. Per exemple, si el nombre dins del radical és 49,8, només heu de posar la coma en la resposta al lloc corresponent a la següent, és a dir, entre els dos números superiors a 9 i 8.
   • En el nostre exemple, el nombre del radical és de 6,45. Per obtenir la resposta, només cal col·locar la coma entre els nombres superiors a 6 i 4, que en aquest cas són 2 i 5, respectivament, per obtenir la resposta: 2,539.

Part 3 de 3: Estimació ràpida dels quadres imperfectes

1. 

   Busqueu la resposta a través d’una estimació. Un cop conegueu l’arrel d’alguns quadrats perfectes, és molt més fàcil trobar l’arrel de quadrats imperfectes. En un pas anterior, recomanem memoritzar almenys els dotze primers quadrats perfectes i les seves arrels. La bona notícia és que podem utilitzar l’estimació per obtenir una aproximació de l’arrel d’un quadrat imperfecte que es troba entre dos quadrats perfectes que coneixem. Per això, hem de trobar el primer quadrat perfecte més gran que el número desitjat i l’últim més petit, de manera que el nombre en qüestió estigui entre els dos. Aleshores, hem de procurar esbrinar a quin dels dos quadrats perfectes s’acosta l’arrel del número desitjat.
   • Per exemple, suposem que hem de trobar l’arrel quadrada de 40. Com que memoritzem els nostres quadrats perfectes, podem dir que 40 està entre 6 i 7, és a dir, entre 36 i 49. Com que 40 és superior a 6, la seva arrel quadrada serà més gran que 6. Igualment, com que és inferior a 7, la seva arrel serà inferior a 7. 40 és una mica més propera a 36 que 49, per la qual cosa la nostra resposta probablement serà més propera a 6. En els propers passos , augmentarem la precisió de la nostra estimació.

2. 

   Augmenta la precisió a un lloc decimal. Un cop hàgiu trobat els dos quadrats consecutius perfectes que formen un interval que conté el vostre nombre, només heu d'intentar augmentar la precisió de l'estimació fins a un punt que considereu satisfactori. Com més intents de millorar l'estimació es faci, més gran serà la precisió. Per començar, estimeu el valor del primer decimal. Aquesta estimació no ha de ser correcta, però l’ús de la lògica per escollir un valor que probablement sigui més proper a la resposta facilitarà el procés.
   • En el nostre exemple, podria ser una estimació acceptable per a l’arrel quadrada de 40 6,4, perquè ja sabem que la resposta és probablement una mica més a prop de 6 que de 7.

3. 

   Multipliqueu el pressupost per si mateix. Si no teniu molta sort, el resultat no serà el número inicial (40, en el nostre exemple). Haureu d’ajustar l’estimació per apropar-vos a la resposta correcta.Si el resultat està per sobre del número inicial (és a dir, per sobre de 40), proveu una estimació inferior. Així mateix, si el resultat està per sota del nombre desitjat, augmenteu l'estimació.
   • Multiplica per si mateix 6.4 per obtenir 6.4 × 6.4 = 40,96, que és lleugerament superior al nostre nombre inicial.
   • Ara, ja que la nostra estimació estava per sobre del valor correcte, doncs disminuirem una dècima per obtenir 6,3 × 6,3 = 39,69. Ara el resultat era una mica inferior al nostre número original. Això significa que l’arrel de 40 és algun nombre entre 6,3 i 6,4. A més, com el 39,69 és més proper a 40 que 40,96, sabem que l’arrel s’aproximarà a 6,3, no a 6,4.

4. 

   Si necessiteu, continueu millorant l’estimació. En aquest moment, si esteu satisfets amb la resposta, utilitzeu una de les primeres aproximacions com a estimació. Tanmateix, si necessiteu una resposta més precisa, només cal que proveu d’estimar-la segon decimal, escollint un valor entre els dos anteriors (és a dir, entre 6.3 i 6.4). Amb aquest mètode, podem estimar tres xifres decimals, quatre, cinc, etc., depenent només de la precisió necessària per a la resposta.
   • En el nostre exemple, podem triar 6,33 per fer la nostra estimació a dos decimals. Multipliqueu el 6,33 per si mateix per obtenir 6,33 × 6,33 = 40,0689. Com que aquest resultat estava lleugerament superior al nostre nombre inicial, podem triar un valor lleugerament inferior, com ara 6.32. En aquest cas, 6,32 × 6,32 = 39,9424, un resultat lleugerament inferior al número inicial. Per tant, podem concloure que l’arrel exacta de 40 és entre 6,32 i 6,33. Si cal, podríem continuar aquest mètode per obtenir aproximacions cada cop més precises a l’arrel del número desitjat.

Consells

• Si necessiteu una correcció ràpida, utilitzeu una calculadora. La majoria de calculadores modernes poden calcular les arrels quadrades a l’instant. En general, només cal escriure qualsevol número i prémer el botó amb el símbol d'arrel quadrada. Per trobar l’arrel de 841, per exemple, només cal prémer 8, 4, 1 i després (√) per obtenir la resposta: 39.