Content

• Passos
• Consells

Aquest és un article sobre com es pot factoritzar un polinomi de tercer grau. Explorarà com fer factoring a través d’agrupar, així com utilitzar el terme gratuït.

Passos

Mètode 1 de 2: Factorització per grups

1. 

   Agrupa el polinomi en dues parts. L’agrupació del polinomi en dues parts ens permet abordar cada secció de manera individual.
   • Diguem que estem treballant amb el polinomi x + 3x - 6x - 18 = 0. L’agruparem en (x + 3x) i (- 6x - 18)

2. 

   
   
   Esbrineu què és comú a cada part.
   • Mirant (x + 3x), podem veure que x és comú.
   • Observant (- 6x - 18), podem veure que -6 és comú.

3. 

   Factor comú dels dos termes.
   • Factorització x de la primera secció, tenim x (x + 3).
   • Factoritzant -6 a la segona secció, tenim -6 (x + 3).

4. 

   
   
   Si cadascun dels termes té el mateix factor, els podem combinar.
   • Això ens dóna (x + 3) (x - 6).

5. 

   Busqueu la solució mirant les arrels. Si teniu x a l’arrel, recordeu-ho tots dos els nombres, negatius i positius, omplen aquesta equació.
   • Les solucions són 3 i √6.

Mètode 2 de 2: Factorització a termini lliures

1. 

   
   
   Reordeneu l’expressió en forma de aX + bX + cX + d.
   • Diguem que estem treballant amb l’equació següent: x - 4x - 7x + 10 = 0.

2. 

   Trobeu tots els factors "d". La constant "d" serà el número que no té cap variable, com ara la "x" que hi ha al costat.
   • Els factors són nombres que podeu multiplicar per obtenir un altre número. En el nostre cas, els factors de 10, o "d", són: 1, 2, 5 i 10.

3. 

   Trobeu un factor que equipara el polinomi amb zero. Volem determinar quin factor fa que el polinomi sigui igual a zero quan substituïm el factor per cada "x" de l'equació.
   • Comencem a utilitzar el nostre primer factor, 1. Substituïm "1" per cada "x" de l'equació:
     (1) - 4(1) - 7(1) + 10 = 0
   • Això ens dóna: 1 - 4 - 7 + 10 = 0.
   • Com que 0 = 0 és cert, sabem que x = 1 és una solució.

4. 

   Feu un petit ajustament. Si x = 1, podem reajustar l’equació per semblar una mica diferent sense canviar el seu resultat.
   • "x = 1" és el mateix que "x - 1 = 0" o "(x - 1)". Acabem de restar "1" de cada costat de l'equació.

5. 

   Factoritza el terme a la resta de l’equació. "(x - 1)" és el seu terme. Vegem si la podem diferenciar de la resta de l’equació. Prenem un polinomi alhora.
   • Podem factoritzar (x - 1) fora de x? No podem. Però podem prendre un -x de la segona variable; llavors podem desglossar-la: x (x - 1) = x - x.
   • Podem factoritzar (x - 1) el que queda de la nostra segona variable? No, de nou, no ho podem. Hem de prendre en préstec una mica de la tercera variable. Cal agafar en préstec un 3x del -7x. Això ens dóna -3x (x - 1) = -3x + 3x.
   • Des que vam treure el 3x de -7x, la nostra tercera variable és ara -10x i la nostra constant és de 10. Podem factoritzar-ho? Podem! -10 (x - 1) = -10x + 10.
   • El que vam fer va ser reorganitzar les variables perquè poguéssim factoritzar (x - 1) a través de l’equació. La nostra equació reorganitzada hauria de ser així: x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0, però continua essent la mateixa que x - 4x - 7x + 10 = 0.

6. 

   Segueix substituint els factors pel terme gratuït. Mireu els números que teníem en compte que utilitzavem (x - 1) al pas 5:
   • x (x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Podem reorganitzar això de manera que és molt més fàcil tornar a fer el factoring: (x - 1) (x - 3x - 10) = 0.
   • Aquí només estem tractant de factoritzar (x - 3x - 10). Això es tradueix en (x + 2) (x - 5).

7. 

   La vostra solució serà el terme previst. Podeu veure si les vostres solucions funcionen realment tornant a posar-les a l’equació original.
   • (x - 1) (x + 2) (x - 5) = 0 Això ens dóna la solució de 1, -2 i 5.
   • Torneu a introduir -2 a l'equació: (-2) - 4 (-2) - 7 (-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0.
   • Torneu a posar els 5 a l’equació: (5) - 4 (5) - 7 (5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

Consells

• El polinomi de tercer grau és el producte de tres polinomis de primer grau o producte d’un polinomi de primer grau i d’un polinomi de segon grau que no es pot tenir en compte. En aquest darrer cas, utilitzem la divisió llarga després de trobar el polinomi de primer grau per trobar el polinomi de segon grau.
• No hi ha polinomis de tercer grau dins de nombres reals que no es puguin facturar, ja que cada polinomi cúbic ha de tenir un terme real. Cúbics com x ^ 3 + x + 1 que tinguin un nombre irracional no es poden considerar en polinomis amb un nombre enter o coeficient racional. Tot i que es pot tenir en compte amb la fórmula cúbica, és irreductible com a polinomi tot.