Content

• Passos
• Consells
• Advertiments

Abans que arribés la calculadora, tant els estudiants com els professors havien de calcular les arrels quadrades a mà. Diversos mètodes han evolucionat per tractar millor aquest procés aterrador, alguns aporten aproximacions i altres un valor més precís. Per aprendre a calcular manualment una arrel quadrada mitjançant operacions senzilles, llegiu el document Pas 1 començar.

Passos

Mètode 1 de 2: utilitzar la factorització primera

1. 

   Dividiu el nombre per factors quadrats perfectes. Aquest mètode utilitza els factors d’un nombre per calcular una arrel quadrada (segons el valor, pot ser una resposta exacta o estimada). Vostè factors d'un nombre són qualsevol conjunt d'altres que es multipliquen per aconseguir-ho. Es podria dir, per exemple, quins són els factors i per què. Els quadrats perfectes, en canvi, són nombres enters resultants de la multiplicació entre altres nombres enters. Els valors i, per exemple, són quadrats perfectes perquè es poden representar per, i, respectivament. Els factors de quadrat perfectes, com us podríeu imaginar, també són quadrats perfectes. Per començar a trobar l’arrel quadrada mitjançant la factorització primera, reduïu els valors als vostres factors quadrats perfectes.
   • En un exemple, haureu de calcular l'arrel quadrada de la mà. Per començar, només heu de dividir el valor en els vostres factors quadrats perfectes. Com que és múltiple de, encara se sap que és divisible per un quadrat perfecte. Una divisió mental ràpida us farà veure que s’ajusta a les vegades del nombre, que casualment també és un quadrat perfecte. Per tant, els factors quadrats perfectes de will seran i per què.
   • La primera fase de l'exercici s'escriurà com:

2. 

   
   
   Calculeu les arrels quadrades dels factors quadrats perfectes. La propietat del producte arrel quadrada indica que, per a qualsevol valor i informació,. Per això, ara és possible extreure les arrels quadrades dels factors i multiplicar-les per arribar a la resposta.
   • A l'exemple en qüestió, les arrels quadrades de i s'extreuran de la següent manera:

3. 

   
   
   Reduïu el valor resultant als termes més senzills, si no és possible factoritzar-lo perfectament. A la pràctica, és poc probable que les xifres siguin perfectes i exactes amb factors que també són quadrats perfectes (com ara). En aquests casos, és possible que no sigui possible trobar una resposta completa exacta. En canvi, determinant els factors que poden ser quadrats perfectes, podeu calcular la resposta basant-vos en una arrel quadrada més petita, senzilla i fàcil de treballar. Simplement reduïu el nombre a la combinació de factors que són quadrats perfectes amb altres que no ho són. A continuació, simplifiqueu el resultat.
   • Suposem que l’arrel quadrada de s’utilitza com a exemple. Aquest nombre no és el producte de dos quadrats perfectes, de manera que no és possible arribar a un valor enter com en el cas anterior. Tanmateix, és el producte entre un quadrat perfecte i un altre número - e. Aquestes dades s’utilitzaran per avançar en la cerca de la resposta en els termes més senzills, de la següent manera:

4. 

   
   
   Si cal, feu estimacions. Amb l’arrel quadrada en els termes més senzills, és més senzill estimar una resposta numèrica estipulant el valor de les arrels quadrades restants i multiplicant els valors adequats. Una manera de guiar-vos a través d’aquestes estimacions és trobar els quadrats perfectes al costat del número de l’arrel quadrada. Sabreu que les posicions decimals d’aquest nombre estaran entre aquests dos valors i, per tant, serà més fàcil establir què hi ha entre ells.
   • Tornant a l'exemple i sent e, podeu veure que es troba entre e i probablement més a prop del nombre més gran. A l’hora d’estimar-ho, ho trobareu. Simplement comproveu el funcionament amb l'ajuda d'una calculadora i notareu que us heu apropat molt a la resposta real ().
     • Això també funciona en un nombre més gran. És possible, per exemple, estimar que es troba entre i (probablement més a prop del nombre més gran). Si e i està entre ambdós valors, és probable que la seva arrel quadrada també estigui entre i. Tenint en compte que es troba a un petit pas, podeu afirmar amb confiança que és la vostra arrel quadrada aviat per sota del valor. Quan es realitza el càlcul amb una calculadora, s’arriba al resultat: la suposició era correcta.

5. 

   En primer lloc, reduïu el nombre al vostre múltiples mínims comuns. No cal trobar factors que siguin quadrats perfectes si és capaç de determinar els factors primers d’un nombre (és a dir, que també són nombres primers). Escriviu el valor en qüestió basant-vos en el mínim comú de múltiples. A continuació, busqueu parells de nombres primers que coincideixin entre si. Quan trobeu dues opcions que compleixin aquests requisits, traieu-les de l'arrel quadrada i del lloc a d'ells fora.
   • Com a exemple, intenteu trobar l'arrel quadrada de amb aquest mètode. Se sap això i allò. Per això, és possible escriure l'arrel quadrada en funció dels seus factors :. Simplement agafeu els dos presents dins de l'arrel i col·loqueu-ne un a l'exterior per arribar als termes més senzills:. A partir d’aquí és fàcil estimar.
   • Com a darrer exemple, intenteu calcular l'arrel quadrada de:
     • 
       Aquí hi ha diversos valors dins de l’arrel quadrada: ja que és un nombre primer, només cal agafar un dels parells i col·locar una de les unitats a l’exterior.
     • Com a resultat, l’arrel quadrada en els seus termes més simples serà o. A partir d’aquí podeu estimar els valors de i, si ho desitgeu.

Mètode 2 de 2: càlcul manual de les arrels quadrades

1. 

   Primer, separeu els espais del nombre per parelles. Aquest mètode fa ús d’un procés similar a la divisió llarga per calcular l’arrel quadrada exacte, una casa a la vegada. Tot i que no és crucial, és possible que el procés sigui més fàcil quan s’organitza visualment i el nombre es divideix en parts. El primer que heu de fer és dibuixar una línia vertical que separi l'àrea de treball en dues regions, i després fer una línia horitzontal més petita prop de la part superior dreta per tenir una secció petita a la part superior i una de gran a la part inferior. Ara, separeu els espais del nombre per parelles que comencen per la coma: seguir aquesta regla, per exemple, esdevé. Escriviu el valor a la part superior de l’espai esquerre.
   • En un exemple, intenteu calcular l'arrel quadrada de. Feu dues línies per dividir l'àrea de treball com en el cas anterior i escriviu a la part superior de l'espai esquerre i no us preocupeu si només hi ha un número únic a l'esquerra en lloc d'un parell. Heu d’escriure la resposta () a la regió superior dreta.

2. 

   Esbrineu quin és l’enter més gran el quadrat del qual és menor o igual al nombre (o parell de nombres) de l’esquerra. Comenceu per la part més esquerra del vostre número, ja sigui un parell o un valor aïllat. Determineu quin és el quadrat perfecte més gran que és menor o igual a aquest nombre i agafeu la seva arrel quadrada: aquest valor està representat per. Escriviu-lo a l’espai superior dret i escriviu el vostre quadrat al quadrant inferior dret.
   • A l'exemple, la part més esquerra és el número. Com se sap, és possible afirmar que, ja que és el valor enter més gran el quadrat de la qual és inferior o igual a. Escriviu al quadrant superior: aquest serà el primer quadrat del resultat. A continuació, escriviu (quadrat de) al quadrant inferior dret: aquest valor serà important per al següent pas.

3. 

   Sostreure el número de parell recentment calculat a l'esquerra. Com a la divisió llarga, el següent pas és restar el quadrat trobat de la porció que s’acaba d’estudiar. Escriviu aquest valor a la primera porció i realitzeu la resta adequada, escrivint la resposta a continuació.
   • A l'exemple, se situarà un per sota de la mateixa per tal de realitzar la resta. La resposta aquí serà igual a.

4. 

   Baixeu al parell següent. Moveu la següent porció del número d'estudi cap avall i al costat del valor restat que acabeu de trobar. A continuació, multipliqueu el valor de la part superior dreta per i escriviu la resposta al quadrant inferior dret. Ara només heu de separar un espai per al problema de la multiplicació al següent pas :.
   • A l'exemple, el següent parell disponible és. només cal mirar-lo a prop del quadrant inferior esquerre. A continuació, multipliqueu el valor per i obteniu-lo, de manera que. Escriviu a l'extrem inferior dret, seguit de.

5. 

   Empleneu els espais en blanc del quadrant dret. Cadascun d'ells tindrà ara el mateix nombre enter. Ha de ser el més gran que permeti que el resultat de la multiplicació de la dreta sigui inferior o igual al nombre que hi ha ara a l'esquerra.
   • A l'exemple, empleneu els espais en blanc amb el resultat :. Aquest és un valor superior a. D’aquesta manera, és massa gran, però probablement sí. Escriviu en blancs i continueu: Es confirma que compleix la necessitat perquè, a continuació, escriviu el número al quadrant superior dret. Aquest és el segon quadrat de l'arrel quadrada de.

6. 

   Resteu el valor calculat del número que hi ha ara a l'esquerra. Continueu restant amb el mateix estil que la divisió llarga. Agafeu el resultat del problema de multiplicació al quadrant dret i resteu-lo del valor que hi ha ara al costat esquerre, situant la resposta just a sota.
   • A l'exemple, es restarà, resultant.

7. 

   Repetiu el pas 4. Desplaceu-vos cap avall fins a la següent porció del número que s'està calculant l'arrel quadrada. Quan arribeu a la coma, escriviu un decimal a la resposta al quadrant superior dret. Després, multipliqueu el valor de la part superior dreta per i escriviu l’operació en blanc () com abans.
   • A l’exemple, a mesura que s’arriba a la coma ara, escriviu-la just després de la resposta actual a la part superior dreta. A continuació, moveu cap avall el parell següent () al quadrant esquerre. En multiplicar pel valor de la part superior dreta (), obtindreu - escriviu al quadrant inferior dret.

8. 

   Repetiu els passos 5 i 6. Cerqueu el valor decimal més gran capaç d'omplir els espais en blanc de la dreta que donen un resultat inferior o igual al nombre actualment a l'esquerra. A continuació, només passa al problema.
   • A l'exemple, que és menor o igual al nombre de l'esquerra (). En observar que, que és massa alt, arribeu a la conclusió que és la resposta que busqueu. Escriviu-lo com el següent decimal al quadrant superior dret i resteu el resultat de multiplicar el nombre de l’esquerra :.

9. 

   Continueu calculant els decimals. Deixeu caure un parell de zeros a l'esquerra i repetiu Passos 4, 5 i 6. Per obtenir una precisió encara més gran, continueu repetint el procés fins que trobeu les centèsimes, les mil·lèsimes, etc. a la vostra resposta. Només heu de continuar en aquest cicle fins arribar al resultat a la posició decimal desitjada.

Comprensió del procés

1. 

   Definiu el nombre de l'arrel quadrada que es calcularà com l'àrea d'un quadrat. Com que aquesta àrea té una fórmula, on representa la longitud d’un dels seus costats, quan intenteu trobar l’arrel quadrada del seu valor, intenteu calcular la longitud del quadrat en qüestió.

2. 

   Especifiqueu les variables per a cada decimal a la resposta. Estableix que la variable sigui el primer lloc decimal de (es calcula l'arrel quadrada), sigui la segona, sigui la tercera, etc.

3. 

   Assigneu variables alfabètiques a cada porció del número inicial. Associeu la variable amb el primer parell de posicions decimals a (valor inicial), el segon parell de posicions decimals, etc.

4. 

   Comprendre la connexió d’aquest mètode amb la divisió llarga. Aquesta forma de calcular l'arrel quadrada és bàsicament un problema de divisió llarga que divideix el nombre inicial per la seva arrel quadrada, donant la seva arrel quadrada com a resposta. Com passa amb els problemes de divisió llarga, en què l'interès es dirigeix ​​a un decimal a la vegada, aquí us heu de centrar en dos a la vegada (que corresponen a la següent decimal de l'arrel quadrada).

5. 

   Trobeu el nombre més gran el quadrat del qual sigui menor o igual a. El primer decimal a la resposta representa el nombre enter més gran el quadrat del qual no excedeix (així). A l'exemple, i, de manera que.
   • En un exemple, si voleu dividir mitjançant el mètode de divisió llarga, el primer pas seria similar: hauríeu de buscar el primer dígit () i trobar el nombre enter més gran que, multiplicat per, donaria lloc a una cosa inferior a o igual a. Bàsicament, es tracta de trobar aquesta manera. En aquest cas, seria igual a.

6. 

   Visualitzeu el quadrat l’àrea del qual vulgueu calcular. La resposta, que és l’arrel quadrada del número inicial, es representarà per, que descriu la longitud d’un quadrat d’àrea (número inicial). Els valors de i representen els decimals presents a. Una altra manera de posar aquesta definició és afirmar que, en el cas d’una resposta amb dos decimals, en el cas d’una resposta amb tres decimals, etc.
   • A l'exemple,. Recordeu que representa la resposta amb a les unitats i a les desenes. Prenent com a exemple, donarà lloc al nombre. Si representa l'àrea del quadrat, representa l'àrea del quadrat intern més gran, representa l'àrea del quadrat intern més petit i representa l'àrea de cadascun dels rectangles restants. En realitzar aquest llarg i complicat procés, tindreu a mà tota l’àrea quadrada, només cal afegir les àrees calculades a partir dels quadrats i rectangles de l’interior.

7. 

   Restar de. Deixeu caure un parell () de posicions decimals. L’expressió representa gairebé tota l’àrea del quadrat, de la qual es va restar el quadrat intern més gran. La resta, al seu torn, es pot representar mitjançant l'obtenció de Pas 4 (a l'exemple anterior). Aquí, (àrea d'ambdós rectangles més l'àrea del quadrat més petit).

8. 

   Cerca, també escrit com. A l'exemple, ja sabeu () i () i ara cal calcular el valor de. Probablement no serà un valor enter, així que cal realment calculeu la possibilitat sencera més gran que satisfaci la condició. Finalment, us quedareu.

9. 

   Resol l’operació. Per continuar, multipliqueu per, canvieu la posició de les desenes (l'equivalent a multiplicar el valor per), poseu-lo a la posició de les unitats i multipliqueu el resultat per. En altres paraules, només cal que realitzeu l'operació. És el mateix que quan s’escriu (ésser) al quadrant inferior dret present al Pas 4. Ja a Pas 5al seu torn, trobareu el valor enter més gran que s’adaptarà a l’espai en blanc que satisfaci la condició.

10. 

    Resteu l'àrea de la superfície total. Això es tradueix en l'àrea desconeguda fins ara (i que s'utilitzarà per calcular els següents quadrats de manera similar).

11. 

    Per calcular el següent decimal, repetiu el procés. Desplaceu-vos cap avall fins al següent parell () de per tal d’arribar a l’esquerra i cerqueu el valor més alt que compleixi la condició (equivalent a escriure el doble del valor amb dos decimals acompanyats de. Cerqueu el valor decimal més alt possible en blancs que aporta un resultat inferior o igual a, com abans.

Consells

• Aquest mètode funciona amb qualsevol base, no només amb la base (decimal).
• A l'exemple, es pot considerar un "descans":
  
• Un mètode alternatiu que utilitza fraccions contínues segueix aquesta fórmula:
  
  En un exemple, per calcular l’arrel quadrada de, l’enter el quadrat del qual coincideix més amb el nombre inicial és, de manera que, e. Quan introduïu els valors a la fórmula i arrodoneu l’estimació cap amunt, ja aporta el resultat (valors mínims), o aproximadament (). El següent terme seria, o aproximadament (). Cada terme addicional afegeix gairebé tres decimals de precisió respecte a l'intent anterior.

Advertiments

• Recordeu separar els decimals per parelles de la coma. Una separació de com, per exemple, donarà resultats inútils.